Variable aléatoire

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Cet article concerne les variables aléatoires dans leur généralité. Pour les variables aléatoires à valeurs réelles, voir variable aléatoire réelle.

Une variable aléatoire est un objet possédant une définition rigoureuse en mathématique. Elle est utilisée pour étudier des phénomènes soumis au hasard. En général à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie, on parle alors de variable aléatoire réelle), elle peut cependant prendre ses valeurs dans d'autres ensembles comme des vecteurs de $\ \scriptstyle \R^n$ ou $\ \scriptstyle \C^n$ , des fonctions de $\ \scriptstyle C(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}^d)$ , ou même des valeurs qualitatives (couleurs, Pile ou Face).

Le développement des variables aléatoires est associée à la théorie de la mesure .

Définition — Soient $\ \scriptstyle (\Omega, \mathcal{F}, P)$ un espace probabilisé et $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})$ un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de $\ \scriptstyle\Omega$ vers $\ \scriptstyle E$ , toute fonction mesurable $\ \scriptstyle X\$ de $\ \scriptstyle\Omega$ vers $\ \scriptstyle E$ .

Cette condition de mesurabilité de $\ \scriptstyle X$ assure que l'image réciproque de tout élément $\ \scriptstyle B$ de la tribu $\ \scriptstyle \mathcal{E}$ possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})$ , une mesure de probabilité, notée $\ \scriptstyle P_X$ , par

$P_X(B) = P\left(X^{-1}(B)\right) = P\left(X\in B\right).$

$\ \scriptstyle P_X$ est l'image, par l'application $\ \scriptstyle X\$ , de la probabilité $\ \scriptstyle P$ définie sur $\ \scriptstyle (\Omega, \mathcal{F})$ .

Définition — La probabilité $\ \scriptstyle P_X$ est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire $\ \scriptstyle X\$ .

[modifier] Exemples

Dans la suite, $\ \scriptstyle \mathcal{B}(E)$ désigne la tribu borélienne de l'espace topologique $\ \scriptstyle E$ .

Lorsque $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ , on dit que $\ \scriptstyle X$ est une variable aléatoire réelle.
Lorsque, pour un entier $\ \scriptstyle d\ge 1$ , $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})=(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ , on dit que $\ \scriptstyle X$ est un vecteur aléatoire.
Lorsqu'il existe un ensemble fini ou dénombrable $\ \scriptstyle S\subset E$ tel que $\ \scriptstyle P(X\in S)=1$ , on dit que $\ \scriptstyle X$ est une variable discrète. Par exemple, le choix $\ \scriptstyle (S,E)=(\mathbb{N},\mathbb{R})$ permet de voir les variables aléatoires suivant la loi de Poisson ou la loi binomiale comme des variables aléatoires réelles.
Le mouvement brownien $\ \scriptstyle B=(B(t))_{t\ge 0}$ , qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoire $\ \scriptstyle B$ à valeurs dans l'espace $\ \scriptstyle E=C(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}^3)$ des fonctions continues de $\ \scriptstyle \mathbb{R}_+$ dans $\ \scriptstyle \mathbb{R}^3$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et de la tribu borélienne correspondante. Pour chaque $\ \scriptstyle t\ge 0$ , $\ \scriptstyle B(t)$ , qui représente la position de la particule à l'instant $\ \scriptstyle t$ , est une variable aléatoire réelle dont la loi est gaussienne. Ainsi $\ \scriptstyle B$ peut aussi être vu comme une collection de variables aléatoires réelles.